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1. 等价无穷小($ x\to 0 $)

$$ x-ln(1+x)\sim\frac{1}{2}x^2 $$

$$ 1-\cos^\alpha x\sim\frac{\alpha}{2}x^2 $$

$$ e^x-\sin(x)-\cos(x)\sim x^2 $$

$$ x-\sin(x)\cdot \cos(x)\cdot \cos(2x)\sim\frac{8}{3}x^3 $$

2. 特殊极限

自变量趋于0时

$$ \lim\limits_{x\to 0^+}x^x = 1 $$

$$ \lim\limits_{x\to 0^+}\sin(x)ln(x) = 0 $$

自变量趋于正无穷时

$$ \lim\limits_{x\to+\infty}\frac{ln^a x}{x^b} = 0, (a>0, b>0) $$

$$ \lim\limits_{x\to+\infty}\frac{x^a}{b^x} = 0, (a>0, b>1) $$

3. 做题手法

3-1. 分子(母)有理化

3-2. 有分母,分左右

例题

题目:当$ x\to 1 $时,$ f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}e^{\frac{1}{x-1}} $的极限为?

答:① $ \lim\limits_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1}(x+1)=2 $;
  ②$ \lim\limits_{x\to 1^-}e^{\frac{1}{x-1}}=0,\quad \lim\limits_{x\to 1^+}e^{\frac{1}{x-1}}=\infty $;
  因此,此极限不存在但不是无穷。

3-3. 列与子列问题

例题

题目:极限$ \lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{x}\sin\frac{1}{x} $为?

答:① 令$ x_n=\frac{1}{2n\pi}\to 0(n\to \infty) \quad \Rightarrow $

$$ \begin{align} &\lim\limits_{n\to \infty}\frac{1}{x_n}\sin(\frac{1}{x_n}) \\=&\lim\limits_{n\to \infty}2n\pi \sin(2n\pi) \\=&0 \end{align} $$

  ② 令$ y_n=\frac{1}{2n\pi +\frac{\pi}{2}}\to 0(n\to \infty) \quad \Rightarrow $

$$ \begin{align} &\lim\limits_{n\to \infty}\frac{1}{y_n}\sin(\frac{1}{y_n}) \\=&\lim\limits_{n\to \infty}(2n\pi +\frac{\pi}{2})\sin(2n\pi +\frac{\pi}{2}) \\=&\infty \end{align} $$

  因此,此极限不存在但不是无穷。

3-4. 拆分或组合

4. 其他公式

4-1. 结合定积分

  分子次数齐,分母次数齐,分母多一次时,有如下关系式成立:

$$ \lim\limits_{n\to+\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nf(\frac{i-1}{n})=\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nf(\frac{i}{n})=\int_0^1 f(x)dx $$

4-2. 华里士公式(点火公式)

$ \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2n}xdx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2n}xdx = \frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\cdot ··· \cdot \frac{2n-1}{2n}\cdot \frac{\pi}{2} $
$ \quad $
$ \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2n+1}xdx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2n+1}xdx =1\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5} ··· \cdot \frac{2n}{2n+1} $

4-1及4-2例题

$$ \begin{align} &\lim\limits_{n\to \infty}\bigg (\frac{\sin^{2}(\frac{\pi}{n})}{n}+\frac{\sin^{2}(\frac{2 \pi}{n})}{n}+ ··· +\frac{\sin^{2}(\frac{n \pi}{n})}{n}\bigg ) \\=&\lim\limits_{x\to \infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \sin^{2}(\frac{i \pi}{n}) \\=&\int_0^1 \sin^2(\pi x)dx \\=&\frac{1}{\pi}\int_0^1 \sin^2(\pi x)d\pi x \\=&\frac{1}{\pi}\int_0^\pi \sin^2(x)dx \\=&\frac{2}{\pi}\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(x)dx \\=&\frac{2}{\pi} × \frac{1}{2} × \frac{\pi}{2} \\=&\frac{1}{2} \end{align} $$

4-3. 变上下限积分求导公式

4-4. 三角函数公式

4-5. 麦克劳林展开式

  麦克劳林级数是泰勒级数在$ x=0 $处展开的特殊形式,其表达式为:

$$ f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}f^{(n)}(0)x^n,\quad (|x|<r) $$

  常见的函数展开形式如下:
$$ e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+···+\frac{x^n}{n!}+o(x^n) $$

$$ sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+···+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+2}) $$

$$ cos(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+···+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1}) $$

$$ ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+···+(-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1}+o(x^{n+1}) $$

$$ \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+···+x^n+o(x^n) $$

$$ (1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}x^2+···+\frac{\alpha (\alpha -1)···(\alpha -n+1)}{n!}x^n+o(x^n) $$

4-6. 拉格朗日中值定理

无穷大乘以同值函数相减可以用拉格朗日中值定理求极限

$$ \begin{align} &\lim\limits_{x\to +\infty}x^2\bigg [\arctan(\frac{1}{2x-1})-\arctan(\frac{1}{2x+1})\bigg ] \\&\infty \cdot (同值函数相减) \\&令 f(t)=\arctan(t),则f^{'}(t)=\frac{1}{1+t^2} \\&\arctan(\frac{1}{2x-1})-\arctan(\frac{1}{2x+1}) \\&=\frac{1}{1+\xi ^2}×(\frac{1}{2x-1}-\frac{1}{2x+1}) \\&=\frac{1}{1+\xi ^2}×\frac{2}{4x^2-1}\qquad (\frac{1}{2x+1}<\xi<\frac{1}{2x-1}) \\&\quad \\原式&=\lim\limits_{x\to +\infty}x^2\frac{1}{1+\xi ^2}\frac{2}{4x^2-1} \\&=\frac{1}{2}×1 \\&=\frac{1}{2} \end{align} $$

4-7. 夹逼定理

n项相加,分子和分母次数不齐,可以用夹逼定理求极限

例一:

$$ \lim\limits_{n\to \infty}\bigg ( \frac{1}{\sqrt{4n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{4n^2+2}}+···+\frac{1}{\sqrt{4n^2+n}} \bigg ) $$

例二:

$$ \lim\limits_{n\to \infty}\bigg ( \frac{1}{n^2+n+1}+\frac{2}{n^2+n+2}+···+\frac{n}{n^2+n+n} \bigg ) $$




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